logika

Logika Matematika adalah salah satu materi pokok yang diajarkan di sekolah dan universitas. Pada pembahasan kali ini, saya akan mencoba membahas materi Logika matematika ini dengan cara semudah-mudahnya. Untuk mempermudah Anda, saya sudah menyertakan contoh-contohnya.

Saya pribadi mendapat materi Logika Matematika pada saat kelas X dan di kampus pada semester 1. Tapi ketika saya membaca buku matematika kurikulum 2013, kelihatannya materi ini sudah dihapus dan tidak akan diajarkan lagi di sekolah. Entah itu saya yang belum cermat membaca atau memang tidak ada. Saya juga tidak tahu alasan mengapa materi ini dihapus. Padahal menurut dosen saya, mata kuliah pada semester awal adalah pondasi untuk belajar di semester selanjutnya, sedangkan materi ini diajarkan di semester 1. Dari sana saja bisa dilihat betapa pentingnya peran Logika Matematika untuk memahami materi selanjutnya. Tapi kok dihapus??? Apa mungkin karena materi ini terlalu mudah??? I don't know.

Pengertian Logika

Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat.

Jika kita membahas logika, kita akan berkenalan dengan penalaran. Penalaran merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen.

Dalam Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang telah kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berpikir dengan tepat, Logika menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.

Orang yang pertama kali merintis dan mempelopori Logika adalah Aristoteles, seorang filsafat Yunani yang hidup pada 348-322 SM. Ia mengobservasi dan mencatat hukum-hukum dari logika formal, yaitu logika yang kesahihan dari langkah-langkahnya dipandang hanya berdasarkan bentuk dari rangakaian langkah-langkah itu dan tidak bergantung pada materi persoalan sehingga berlaku baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lain serta dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

Premis 1 : Semua a adalah b

Premis 2 : Semua b adalah c

Kesimpulan : Semua a adalah c

Langkah di atas menghasilkan sebuah kesimpulan yang tidak tergantung pada isi a, b dan c.

Dengan mempelajari Logika ini diharapkan kita mempunyai pola berpikir yang tepat, akurat, rasional, kritis dan obyektif. Selain itu, dengan mempelajari prinsip-prinsip Logika, ini juga akan membantu kita untuk menjadi lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik penalaran yang dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri. Seseorang yang dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran akan dapat berpikir yang jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun yang mungkin merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi.

Himpunan Semesta Pembicaraan

Kok ada himpunan semesta pembicaraan sih? Bukannya kita sekarang sedang belajar Logika Matematika? Mungkin ada diantara kalian bertanya seperti itu. Mungkin pada materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian. Karena ketika kita sedang membicarakan matematika, maka kita harus menentukan terlebih dahulu himpunan semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. Sebab benar atau salahnya suatu pernyataaan memang dapat tergantung pada semestanya yang telah disepakati.

Sebagai contoh:

"Berapa x sehingga x + 2 = 12?"

Pasti kebanyakan kita akan menjawab x = 10.

Yap, benar. Anda tidak salah. Karena pikiran kita sudah terbentuk bahwa semesta pembicaraannya adalah semua anggota himpunan bilangan kompleks.

Tapi lain jawaban jika saya bertanya seperti ini,

"Berapa x sehingga x + 1 = 12, dengan x adalah anggota bilangan asli kurang dari 5?"

Jika Anda tahu, silahkan isi jawaban dan alasannya di kolom komentar.

Kalimat = Pernyataan?

Saya ada membaca tulisan di blog lain yang menulis bahwa kalimat itu sama seperti pernyataan. Saya ingin menekankan di sini bahwa itu adalah SALAH.

Tidak semua kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua pernyataan merupakan sebuah kalimat. Suatu kalimat yang mengandung nilai benar ataupun salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat deklaratif (pernyataan). Kalimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai pernyataan dapat berupa kalimat perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas, atau kalimat yang mempunyai arti ganda (ambigu).

Sebagai contoh:

• Bilangan 7 adalah bilangan prima.
• Provinsi DKI Jakarta berpenduduk 1 juta jiwa.
• Ambilkan OHP di ruang guru!
• Astaga!
• 2x + 3 > x -1

Dari contoh di atas, kalimat pertama dan kedua adalah contoh pernyataan, dan kalimat lainnya merupakan kalimat biasa. Untuk kalimat kelima tidak disebut sebagai sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat yang masih mengandung variabel bisa disebut sebagai kalimat terbuka (bisa dimasukkan apa saja). Kalimat tersebut akan menjadi sebuah pernyataan jika kita telah mengganti nilai x dengan suatu bilangan tertentu. Saya kira sampai disini Anda sudah paham perbedaan kalimat dan pernyataan.

Operasi pada Logika Matematika

Secara umum, operasi pada materi Logika matematika ada dua, yaitu operasi uner dan operasi biner. Sesuai namanya, operasi uner (Monari) adalah operasi yang hanya berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi biner (Binari) adalah operasi yang berhubungan dengan dua unsur. Operasi uner dalam Logika Matematika hanya ada satu macam, yaitu operasi negasi, dan operasi biner ada empat macam, yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.

Operasi Negasi

Negasi biasa juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh sebuah pernyataan. Jika sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka negasinya adalah salah, dan begitu pula sebaliknya. Untuk menyatakan negasi, kita bisa menggunakan kata "tidak".

Tabel Nilai Kebanaran Operasi Negasi

Sebagai contoh:

"Pohon ini tinggi"

Pohon ini tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa disimbolkan dengan atau sehingga pernyataan negasinya menjadi,

"Pohon ini tidak tinggi" atau bisa juga, "Tidak benar bahwa pohon ini tinggi"

Operasi Konjungsi

Dalam Logika Matematika, jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "dan", maka ini disebut sebagai operasi konjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Konjungsi

Kesimpulan : Operasi konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh:

• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai benar
• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah

Operasi Disjungsi

Jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau", maka ini disebut sebagai operasi disjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Kata "atau" bisa mempunyai dua arti yang berbeda. Jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q, tetapi tidak kedua-duanya, seperti ini disebut disjungsi ekslusif. Sedangkan jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q, atau kedua-duanya, ini disebut disjungsi inklusif (Kalau saya untuk mempermudah menghapal ini saya ingat saja kata ekslusif yang sama artinya dengan spesial / tak ada duanya).

Sebagai contoh:

• Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di kota Yogyakarta. (disjungsi ekslusif)
• Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di sebuah rumah sakit swasta. (disjungsi inklusif)

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Ekslusif

Kesimpulan : Operasi disjungsi ekslusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan bernilai benar, tapi tidak kedua-duanya.

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Inklusif

Kesimpulan : Operasi disjungsi inklusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan tersebut bernilai benar.

Catatan : Operasi disjungsi yang sering digunakan dalam pelajaran Logika Matematika di sekolah adalah operasi disjungsi inklusif.

Sebagai contoh:

• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, bernilai benar
• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bukan bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, baru bernilai salah

Operasi Implikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka ...", maka ini disebut sebagai operasi implikasi. Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Implikasi

Kesimpulan : Operasi implikasi bernilai benar apabila pernyataan kedua bernilai benar, atau kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Sebagai contoh:

• Jika air habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah
• Jika air tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai benar

Contoh di atas saya rasa sudah cukup untuk menjawab pertanyaan "Kenapa jika B maka S hasilnya S, sedangkan jika S maka B hasilnya B?" Karena belum tentu penyebab manusia mati hanya karena air habis, kan?

Operasi Biimplikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...", maka ini disebut sebagai operasi biimplikasi. Saya lebih suka menyebut hubungan ini "persyaratan". Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Biimplikasi

Kesimpulan : Operasi biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Sebagai contoh:

• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai benar
• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya salah kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, salah juga kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, baru benar

Syarat manusia hidup adalah jantung berdetak, dan syarat jantung berdetak adalah manusia hidup. Kedua hal tersebut tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Inilah yang saya maksud dengan hubungan "persyaratan".

Pernyataan Berkuantor

Seperti yang sudah dibahas, 2x + 3 > x -1 adalah kalimat terbuka (yang mengandung variabel) dan bukan sebuah pernyataan. Untuk mengganti kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti variabel (x) yang ada dengan suatu nilai. Cara lainnya untuk mengganti kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor sendiri dibagi menjadi dua, yaitu kuantor umum (kuantor universal) dan kuantor khusus (kuantor eksistensial).

Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Untuk menyatakan kuantor universal, kita bisa menggunakan ungkapan "Untuk setiap" atau "Untuk semua". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor umum adalah A terbalik, "".

Sebagai contoh:

x > 0 merupakan kalimat terbuka.

Jika saya ganti menjadi "Untuk setiap x bilangan asli, berlaku x positif (x >0)", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Bisa, bukan? Jawabannya adalah benar karena 1, 2, 3 dst itu selalu lebih besar dari 0. Dan jika bisa ada nilai kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor universal yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Untuk setiap x bilangan asli, x > 2". Kenapa salah? Karena 1 adalah bilangan asli, sedangkan 1 tidak lebih besar daripada 2. Jadi, tidak semua bilangan asli lebih dari 2 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Untuk menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan ungkapan "Ada", "Terdapat", "Paling sedikit satu", atau "Beberapa". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor khusus adalah E terbalik, ""

Sebagai contoh:

x > 1 merupakan kalimat terbuka

Jika saya ganti menjadi "Terdapat x bilangan asli sedemikian sehingga x > 1", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Sekali lagi bisa. Dan jawabannya benar karena 2 > 1 sedangkan 2 adalah anggota bilangan asli. Jadi ini bisa disebut sebagai suatu pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Terdapat x bilangan asli sedemikian rupa sehingga x < 1". Kenapa salah? Karena tidak ada lagi bilangan asli yang lebih kecil dari 1. Jadi, tidak terdapat bilangan asli yang kurang dari 1 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

Negasi Pernyataan Berkuantor

Coba kita melihat pernyataan ini, "Semua manusia pasti mati". Pernyataaan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak semua manusia pasti mati", ini sama artinya dengan "Terdapat manusia yang tidak pasti mati". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Universal

Sekarang coba lihat pernyataan ini, "Terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm". Pernyataan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm", ini sama artinya dengan "Semua tinggi badan manusia lebih dari 120 cm". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Eksistensial

Kesimpulan: (1) Negasi universal = eksistensial; dan (2) Negasi eksistensial = universal

1. Hukum komutatif
   • p ∧ q ≡ q ∧ p
   • p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
   • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
   • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
   • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
   • p ∧ B ≡ p
   • p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
   • p ∧ S ≡ S
   • p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
   • p ∧ ~p ≡ S
   • p ∨ ~p ≡ B
7. Hukum negasi ganda
   • ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
   • p ∧ p ≡ p
   • p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
   • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
   • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B

Read More

proposisi

1. Pernyataan (Proposisi)
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S).
Kalimat tanya atau kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.
Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :
a. 1 + 2 = 3
b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY
c. 6 adalah bilangan prima
d. Warna bendera RI adalah biru dan merah
Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.
Kalimat-kalimat berikut bukan pernyataan :
1. x + 2 = 10.
2. Minumlah sirup ini dua kali sehari.
3. Alangkah cantiknya gadis itu!
2. Mengkombinasikan Proposisi
Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of  Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Negasi:
Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.
Berikut ini adalah contoh negasi :
p : Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.
~p : Tidak benar Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera    Selatan.
atau
Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.
Di sini ~p salah karena p benar.
Tabel Kebenaran Dari Negasi :

p	~p
B	S
S	B

Konjungsi:
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, pΛq, adalah sebuah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.
Berikut ini adalah contoh konjungsi :
p : Hari ini hari Sabtu.
q : Matahari bersinar cerah.
pΛq : Hari ini hari Sabtu dan matahari berinar cerah.
Tabel Kebenaran Dari Konjungsi :

p	q	p Λ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Disjungsi:
Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p vq, adalah proposisi yang bernilai salah jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.
Berikut ini adalah contoh disjungsi :
p : Hari ini hari Sabtu.
q : Matahari bersinar cerah.
p vq : Hari ini hari Sabtu atau matahari berinar cerah.
Tabel Kebenaran Dari Disjungsi :

p	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3. Hukum-hukum Logika Proposisi
Dalam logika proposisi terdapat beberapa hukum atau sifat operasinya,yakni:
1. Hukum Identitas
(i)  p  v   F  ↔ p
(ii) p  Λ   T  ↔ p
2. Hukum null/Dominasi
(i) p  Λ   F  ↔  F
(ii) p  v  T  ↔  T
3. Hukum Negasi
(i)  p  v  ~p  ↔ T
(ii) p  Λ   ~p  ↔ F
4. Hukum idempoten
(i)  p  v  p  ↔ p
(ii) p  Λ   p   ↔ p
5. Hukum Involusi(negasi ganda)
(i)  ~ (~p)  ↔ p
6. Hukum Penyerapan (absorpsi)
(i)  p  v  (p Λ q) ↔ p
(ii) p  Λ  (p v q) ↔ p
7. Hukum komutatif
(i)  p  v  q  ↔ q  v  p
(ii) p  Λ  q   ↔ q Λ  p
8. Hukum assosiatif
(i)  p v (q v r) ↔ (p v q) v r
(ii) p Λ (q Λ r ) ↔ (p Λ q)  Λ  r
9. Hukum Distributif
(i)  p v (q Λ r) ↔ (p v q) Λ (p v r)
(ii) p Λ (q v r ) ↔ (p Λ q)  v  (p Λ r)
10. Hukum De Morgan
(i)  ~(p Λ q) ↔ ~p v ~q
(ii) ~(p v q) ↔ ~p Λ ~q
4. Tabel Kebenaran
Sebenarnya tabel kebenaran ini sudah saya bahas di atas. Pada bagian ini saya hanya ingin mengulangnya dan menjadikannya menjadi satu agar mudah untuk dibaca dan dipahami.

p	q	~p	p Λ q	p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	S

Logika proposisi tidak bisa menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:
p : n adalah bilangan ganjil.
Pernyataan p bukan sebuah proposisi karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka kita harus mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.

Read More

Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Read More

Relasi

A. RELASI.
1. Perkalian Himpunan (Produk Cartesius).
Misalnya A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3} maka:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}.
B x A = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b), (1, c), (2, c), (3, c)}.
A x B dibaca “A cross B”.
B x A dibaca “B cross A”.
==================================================================
2. Pengertian Relasi.
Misalnya dalam suatu wawancara tentang kegemaran olahraga beberapa anak kelas 8F diperoleh data sebagai berikut:
 Ivonna menggemari olahraga renang
 Rizki menggemari olahraga tenis
 Alina menggemari olahraga renang
 Nana menggemari olahraga senam
 Gita menggemari olahraga renang
Dari data di atas dapat dibentuk 2 himpunan yaitu:
1. Himpunan bagian siswa kelas 8F
A = {Ivonna, Rizki, Alina, Nana, Gita}
2. Himpunan jenis olahraga
B = {renang, tenis, senam}
Antara himpunan A dan B terdapat hubungan/relasi yaitu “menggemari olahraga”.
Jadi:
Himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan mempunyai relasi (hubungan) jika ada anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B.
Contoh:
Diketahui A = {4, 6, 8,10} dan B = {2, 3, 4, 5}
a. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B!
b. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan B ke himpunan A!
Jawab:
a. Dari himpunan A dan B didapat:
4 = dua kali 2
6 = dua kali 3
8 = dua kali 4
10 = dua kali 5
Jadi relasi yang mungkin dari A ke B adalah “dua kali dari”.
b. Dari himpunan B ke himpunan A didapat:
2 = setengah dari 4
3 = setengah dari 6
4 = setengah dari 8
5 = setengah dari 10
Jadi relasi yang mungkin dari B ke A adalah “setengah dari”

====================================================

3. Menyatakan Relasi dari Dua Himpunan.
Ada tiga cara menyatakan relasi dua buah himpunan, yaitu dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan grafik Cartesius.
Contoh 1:
 Bagus menggemari olahraga renang
 Tuti menggemari olahraga tenis
 Tiara menggemari olahraga renang
 Reffy menggemari olahraga senam
 Ranti menggemari olahraga renang
Berdasarkan data di atas tentukan:
a. Himpunan pasangan berurutan.
b. Diagram panah.
c. Grafik Cartesius.
Jawab:
Dari data di atas disusun dua himpunan sebagai berikut:
A = {Bagus, Tuti, Tiara, Reffy, Ranti}
B = {renang, tenis, senam}
a. Himpunan pasangan berurutannya adalah:
{(Bagus, renang), (Tuti, tenis), (Tiara, renang), (Reffy, senam), (Ranti, renang)}
b. Diagram panahnya adalah: c. Grafik Cartesiusnya adalah:












Contoh 2:
Diketahui X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan Y = {1, 2, 3, 4}. Jika relasi dari X ke Y adalah “satu lebihnya dari”, nyatakan relasi tersebut dengan:
a. himpunan pasangan berurutan;
b. diagram panah;
c. grafik Cartesius.
Jawab:
a. himpunan pasangan berurutan = {(2, 1),(3, 2),(4, 3),(5, 4)}
b. diagram panah;

Read More

matematika operasi antar himpunan dan diagram venn

MATEMATIKA OPERASI ANTAR HIMPUNAN DAN DIAGRAM VENN

            Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

 

 Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

            Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

A. Anggota Himpunan

a.     Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang merupakan anggota himpunan dilambangkan " ∈" dan jika bukan anggota dilambangkan " ". 
b.Himpunan terhingga dan tak terhingga Himpunan terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya.

B. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi himpunan kosong adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu “nol”.

C. Himpunan bagian

A himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota himpunan B dan ditulis "A( B". Jika banyaknya anggota suatu himpunan A adalah n(A), maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A)

D. Himpunan semesta

adalah himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. notasi "S".

E. Diagram Venn

digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan.

F.Menyatakan suatu Himpunan

1.    Dengan kata-kata
   Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
   Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.
   2.     Dengan notasi pembentuk himpunan
   Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x €bilangan prima}.
   3.     Dengan mendaftar anggota-anggotanya
   Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} 

G.Operasi Antar Himpunan dan Diagram Venn-nya

1.     Irisan himpunan

A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

2.     Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

3.     Komplemen himpunan

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∈ A}

H. Operasi Pada Himpunan

Jika  S  adalah himpunan semesta dan himpunan A Ì S  , komplemen dari A  , ditulis   A’ ,  adalah himpunan dari semua anggota S  yang bukan merupakan anggota A .

A’ = { x | x ÏA  }

Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A  atau anggota B  atau anggota keduanya.

A È B = { x  |  x ÎA   atau    x ÎB  }

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A  dan  B.

A Ç B  =  { x  |  x ÎA   dan     x ÎB  }

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A  yang bukan merupakan anggota himpunan  B.

A - B  =  { x  |  x ÎA   dan    x ÏB  }.

Jelas bahwa    

B -  A =  { x  |  x ÎB   dan    x ÏA  }.

Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A D B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A dan B,  tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B.

A D B  =  ( A È B ) – ( A Ç B )

atau     

A D B  =  ( A – B ) È  ( B - A ).

 

http://id.shvoong.com/exact-sciences/mathematics/2172644-materi-matematika-himpunan/#ixzz2TFUeCUms 

Read More

IPTEK untuk bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya

Peranan IPTEK dalam bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya

Telah kita ketahui bahwa IPTEK telah berkembang pesat dalam lapisan masyarakat. Hal tersebut mendukung berbagai peranan serta dampak IPTEK dalam berbagai bidang, seperti Bidang Ekonomi, Sosial, dan Budaya.

a) Bidang Ekonomi

Ekonomi adalah kebutuhan manusia, maka sipa yang dapat menguasai perekonomian, dialah yang memegang kekuasaan. Pada saat mata pencaharian utama manusia masih menyangkut soal tanah, kaum feodallah yang memegang kekuasaan. Sedangkan ketika industri memegang peranan penting dalam ekonomi maka kaum kapitalislah yang memegang peranan utama dalam penyediaan segala kebutuhan manusia. Sekarang kaum kapitalis industrialis telah banyak mengembangkan usahanya hingga melampaui batas negaranya yang disebut Multi National Corporation ( MNC ). Kadang – kadang perusahaan perusahaan multinasional ini di negara – negara berkembang ikut serta menentukan politik pemerintahan.

 

Perusahaan besar semacam itu tidak mungkin berkembang tanpa dukungan teknologi walaupun sebagian penduduk dunia masih hidup di bawah garis kemiskinan namun sebagian besar sudah dapat merasakan manfaat dipergunakannya teknologi modern, karena kebutuhan hidupnya dapat dengan mudah diperoleh dengan harga yang relative lebih murah. Cara pembayarannya pun dapat dilakukan dengan tunai atau kredit. 

Pada bidang ekonomi, kemajuan IPTEK dapat dirasakan, hal ini terbukti karena saat ini banyak orang-orang yang kehidupannya makin sejahtera berkat usahanya dalam bidang IPTEK. Sebagai Contoh, kita dapat membuat software game yang saat ini sangat diminati oleh masyarakat terutama pada anak-anak. Selain itu, kita dapat memanfaatkan media elektronik lainnya untuk mengembangkan usaha kita. Dengan teknologi, kita juga dapat mempromosikan usaha-usaha kita :)

Dengan demikian, dapat kita simpulkan dampak positif dari IPTEK dalam bidang Ekonomi :

• Pertumbuhan Ekonomi yang Semakin Tinggi
• Terjadinya Industrialisasi
• Produktifitas dunia industri semakin meningkat. Kemajuan teknologi, akan meningkatkan baik dari teknologi industri maupun pada aspek jenis produksi. investasi dan reinvestasi berlangsung secara besar-besaran, sehingga produktivitas dunia ekonomi semakin meningkat. Di masa depan, akan segera muncul teknologi bisnisyang memungkinkan konsumen melakukan kontak langsung dengan pabrik. Jadi, kita tidak perlu lagi pergi ke toko untuk membeli barang tersebut. 
• Persaingan dalam dunia kerja, akan menuntut pekerja untuk selalu menambah skill dan pengetahuan yang dimiliki. Kualifikasi tenaga kerja dan jumlah tenaga kerja yang dibutuhkan akan mengalami perubahan yang cepat. akibatnya, pendidikan yang diperlukan adalah pendidikan yang menghasilkan tenaga kerja yang mampu mentransformasikan pengetahuan dan skill sesuai dengan tuntutan tenaga kerja.
• Mampu menjadikan produk kedokteran menjadi komoditri

Dan, dampak negatifnya, antara lain :

• Terbukanya pasar bebas, memungkinkan produk luar negeri masuk dengan mudahnya. Dengan banyaknya produk luar negeri yang masuk dan dengan harga yang lebih murah, dapat mengurangi rasa kecintaan kita terhadap produk dalam negeri.
• Terjadinya pengangguran bagi individu yang tidak memiliki skill dan kualifikasi sesuai dengan yang dibutuhkan
• Sifat konsumtif sebagai akibat kompetisi yang ketat pada era globalisasi akan melahirkan generasi yang secara moral mengalami kemerosotan. Misalnya : konsumtif, boros dan memiliki jalan pintas yang bermental “instant”.
• Apabila tidak update dengan IPTEK yang semakin maju, kita akan dipermainkan oleh orang-orang yang tidak bertanggung jawab yang sangat ahli dibidangnya (misalnya : hacker)

b) Bidang Sosial

Kehidupan sosial dipengaruhi oleh kemajuan teknologi. Kebutuhan manusia akan pangan sangat dipengaruhi oleh kemajuan teknologi dalam bidang pertanian. Sedangkan kebutuhan akan komunikasi dipengaruhi oleh teknologinya, seperti media cetak, media elektronik selain untuk berkomunikasi, juga dapat memperluas wawasan. 

Dengan berkembangnya industri dan kegiatan ekonomi, maka memungkinkan orang hidup dalam lapangan pekerjaan tersebut. Hal tersebut dapat dilihat dari angka – angka yang menunjukan bahwa pekerja di pabrik atau perusahaan terus meningkat sedangkan bekerja di sector pertanian makin menurun. 

Nilai social juga berubah. Pada masa lalu orang merasa bahwa menjadi pegawai negeri dinilai lebih tinggi status sosialnya dibandingkan para pedagang atau pengusaha. Sekarang menjadi pengusaha atau karyawan pabrik dianggap sebagai tenaga professional yang mempunyai nilai status yang tinggi. 

Makin berkembangnya teknologi menyebabkan industri memproduksi barang secara massal juga meningkat. Tetapi sering kali juga dimanfaatkan untuk kepentingan yang negatif seperti peniruan atau pemalsusan merek dagang dan sebagainnya. Kian majunya masyarakat yang dibarengi dengan peningkatan jumlah penduduk, menyebabkan manusia sering kehilangan nilai etisnya dan mudah melakukan tindakan yang tercela dan melanggar hukum. 

Dampak Positif :

• Meningkatkan rasa percaya diri kemajuan ekonomi di negara-negara Asia melahirkan fenomena yang menarik. Perkembangan dan kemajuan ekonomi telah meningkatkan rasa percaya diri dan ketahanan diri sebagai suatu bangsa akan semakin kokoh. Bangsa-bangsa Barat tidak lagi melecehkan bangsa-bangsa di Asia.
• Tekanan, kompetisi yang tajam, di pelbagai aspek kehidupan sebagai konsekuensi globalisasi, akan melahirkan generasi yang disiplin, tekun, dan pekerja keras.
• keefektifan biaya dan waktu. Misalnya saat mengajar, kini telah ada teknologi pembelajaran secara online, jadi guru atau dosen tidak perlu repot untuk datang ke sekolah atau kampus, cukup menerangkan pelajaran lewat media internet kepada anak muridnya.
• Masyarakat tidak perlu lagi membeli koran untuk mengetahui informasi mengenai berita, cukup dengan membuka internet, kita sudah dapat membaca berita melalui media online, dan tidak mengeluarkan biaya.

Dampak Negatifnya :

• Kenakalan dan tindak penyimpangan dikalangan remaja dengan mengakses situs porno, dan oknum-oknum yang menggunakan media facebook, twitter, dll sebagai media porstitusi yang sudah jelas dapat merusak moral para generasi muda.
• Melemahkan rasa gotong-royong dan saling tolong-menolong yang menjadi ciri khas masyarakat Indonesia.
• Manusia menjadi malas. Karena telah dimanjakan oleh teknologi, sehingga kita tidak perlu repot bertemu dengan seseorang. Dengan teknologi, kita tetap dapat bertatap muka meskipun tidak bertemu dengan orang tersebut.

Masyarakat memang banyak yang mengeluh mengenai dampak negatif dari kemajuan teknologi. Namun kegiatannya tetap dilakukan karena memikirkan lebih banyak untung daripada ruginya. Meskipun dampak negatif tidak lebih banyak dari pada dampak positifnya, kita tetap harus menghindarinya, karena dampak yang kecil juga dapat menimbulkan dampak lain yang lebih besar.

c) Bidang Budaya

Budaya atau kebudayaan adalah kerangka acuan bagi perilaku masyarakat pendukungnya yang berupa nilai-nilai (kebenaran, keindahan, keadilan, kemanusiaan, dll) yang berpengaruh sebagai kerangka untuk membentuk pandangan hidup manusia yang relatif menetap dan dapat dilihat dari warga budaya itu untuk menentukan sikapnya terhadap berbagai gejala dan peristiwa kehidupan. 

Budaya dapat berwujud tiga hal, yaitu idea tau gagasan, tingkah laku atau tindakan dan benda atau barang yang dihasilkan oleh manusia. Jadi budaya mempunyai pengertian yang luas.
Seperti telah diuraikan di atas, teknologi dan industri mempunyai dampak positif dan negatif. Karena itu hendaknya teknologi secara efektif mampu memerangi kemiskinan, keterbelakangan dan menjamin kemajuan bagi bangsa manusia. Manusia juga perlu sadar bahwa orang menciptakan sesuatu bukan untuk menghancurkan, melainkan untuk kesejahteraan umat.

Jadi, bagaimana IPTEK mempengaruhi masyarakat dalam kebudayaan, itu semua tergantung pada diri masyarakatnya sendiri. Masyarakat harus selektif dan dapat bersifat kritis terhadap perkembangan IPTEK yang semakin pesat. Hendaknya kita menggunakan teknologi tersebut seperlu dan sepentingnya kita saja, jangan karena teknologi, semua menjadi terlupakan, baik itu waktu, kewajiban beribadah, sosialisasi di masyarakat sekitar, dll.

Dampak Positif :

• Semakin berkembangnya daya pikir individu dalam suatu bidang, baik dari segi ekonomi, politik, pendidikan, dan lain sebagainya. 
• Kemampuan individu dalam mencari dan mengumpulkan data untuk bahan diskusi dapat mereka dapatkan dengan cepat dan akurat melalui media berbasis teknologi.

Dampak Negatif :

• Penyalahgunaan media teknologi sebagai sarana pencarian yang tidak ada hubungannya dengan ilmu pengetahuan. Haltersebut dapat membentuk kebudayaan yang rendah akan moral dan sumber daya manusia yang bobrok dan tak berkualitas sedikitpun.

Read More